Nowoczesne metody obliczania całek z osobliwościami w Metodzie Elementów Brzegowych
Zespół badawczy z Centrum Badawczo-Rozwojowego Netrix S.A. oraz Akademii WSEI w Lublinie, w składzie dr hab. inż. Tomasz Rymarczyk oraz prof. inż. Jan Sikora, zaprezentował przełomowe podejście do problemu numerycznego całkowania funkcji z osobliwościami logarytmicznymi w kontekście Metody Elementów Brzegowych (MEB). W opublikowanej pracy „Some More on Logarithmic Singularity Integration in Boundary Element Method”, autorzy przedstawiają innowacyjne techniki obliczeniowe, które znacząco zwiększają precyzję oraz wydajność symulacji inżynierskich, szczególnie w zastosowaniach akustycznych.
Głównym celem badań była analiza efektywności dwóch podejść do obsługi osobliwości w całkach brzegowych. Pierwsze z nich – metoda ignorowania osobliwości – polega na standardowym zastosowaniu zwiększonej liczby punktów całkowania Gaussa. Choć prosta w implementacji, technika ta wiąże się z wysokimi kosztami obliczeniowymi, zwłaszcza dla siatek zawierających elementy wyższego rzędu. Alternatywą jest metoda odejmowania osobliwości (singularity subtraction technique), która umożliwia precyzyjne oddzielenie składnika osobliwego od części regularnej. Rozwiązanie to pozwala na uzyskanie znacznie większej dokładności obliczeń, przy jednoczesnym ograniczeniu liczby operacji numerycznych, co czyni je szczególnie atrakcyjnym w analizie skomplikowanych problemów brzegowych.
W pracy omówiono również wpływ różnych parametrów fizycznych i geometrycznych na skuteczność całkowania. Dotyczy to m.in. częstotliwości fali akustycznej oraz obecności ostrych krawędzi w analizowanym obszarze. W kontekście zagadnień akustycznych opisywanych równaniem Helmholtza, zastosowanie metody odejmowania osobliwości umożliwiło uzyskanie średniego błędu względnego (MRE) na poziomie 1–5%, nawet przy wysokich częstotliwościach. Dodatkowo, badania objęły zarówno problemy Dirichleta, jak i szeroki zakres zagadnień z zakresu propagacji fal.
Wyniki te mają bezpośrednie przełożenie na praktykę inżynierską. Metoda Elementów Brzegowych znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach: od projektowania układów akustycznych, przez analizę pól elektromagnetycznych, aż po modelowanie zjawisk cieplnych i mechanicznych. Opracowane techniki obliczeniowe nie tylko zwiększają precyzję symulacji, ale również przyspieszają procesy projektowe, umożliwiając szybsze i bardziej wiarygodne testowanie różnych konfiguracji.
Szczególnie interesującym aspektem jest możliwość analitycznego obliczania części osobliwej w przypadku równań Laplace’a, co znacząco przyspiesza procedury całkowania. Tego rodzaju rozwiązania przyczyniają się do dalszego rozwoju narzędzi numerycznych, podnosząc ich jakość oraz użyteczność w nowoczesnej inżynierii.
Pełna wersja artykułu dostępna jest pod adresem:
link do publikacji